用计算重塑思维:十位数学家、十种数学模型带您构建认知思维
Immanuel 2017-10-12 15:11:35
导语:自然如何优雅的计数?

文 | Immanuel  来源 | YaK芽课,ID:backwithyoursoul  编辑 | 扑克投资家,转载请注明出处

数学的本质是寻求观察世界的模式,并发展一套工具来让人们更好地发现和创造新的模式。这里的几位数学家,并非大家熟知的,而他们发现的理论并不复杂,从观察自然中得来,却带有极强的启发性和创造性。在人类历史进程上代理了非凡的变革。

现代数学和科学的文明应该归功于繁荣的伊斯兰文明,“数学旅行家”斐波那契把我们现在熟知的阿拉伯数字带到了欧洲,将古希腊几何学也带到欧洲。他还发明了代数学,对数论进行了有益的探索。当然他最大的价值在于发明了斐波那契数列,回归古典艺术,都蕴含着斐波那契数列中黄金分割。

斐波那契: 自然如何优雅的计数

直觉很多时候是错误的,约束我们的直觉需要科学统计技术和概率论做为依据。如果我们任由我们的直觉就会犯下很多错误。约束我们的直觉,需要建立基本的数据分析框架和与之相配套的逻辑。

皮尔逊: 自然模式发现的工具

微积分的发明,推动了物理学的发展,人类社会也进入了工业时代。现代国家的管理需要依靠统计方法对海量数据进行收集和整理。卡尔,皮尔逊发展了很多新的统计方法,现在也依然在使用的方法。

传统对于科学的定义:“指发现、积累并公认的普遍真理或普遍定理的运用,已系统化和公式化了的知识。”从皮尔逊的观点来看,这正是坏科学的定义。这个科学的定义仅仅是描述了科学的目的,实际上科学的定义应该改成如下:   “指用严谨的逻辑手段发现积累并得到同时代公认的较大范围内适用的真理或者定理,并形成系统化或者公式化的知识。”

All knowledge is, in the final analysis, history. 

All sciences are, in the abstract, mathematics. 

All methods of acquiring knowledge are, essentially, through statistics.

在终极的分析中,一切知识都是历史;在抽象的意义下,一切科学都是数学; 在理性的基础上,所有的判断都是统计学。

让皮尔逊工作能发挥价值的是计算机,冯诺依曼创造了计算机,极大的发掘了统计学的奥秘。冯诺依曼并不仅仅把计算机作为信息加工的工具,他认为 计算机还具备更多的潜力,他应该还能去想象,去模拟类似人类交互作用的自然过程。

冯诺依曼 : 模拟与猜测

这个架构最关键的特征是将运行程序放入内存中,这样允许计算机自己修正指令。

把需要的程序和数据送至计算机中。必须具有长期记忆程序、数据、中间结果及最终运算结果的能力。能够完成各种算术、逻辑运算和数据传送等数据加工处理的能力。能够根据需要控制程序走向,并能根据指令控制机器的各部件协调操作。能够按照要求将处理结果输出给用户。

将指令和数据同时存放在存储器中,是冯·诺依曼计算机方案的特点之一 计算机由控制器、运算器、存储器、输入设备、输出设备五部分组成 冯·诺依曼提出的计算机体系结构,奠定了现代计算机的结构理念。

人类交互作用是约翰纳什的主要数学兴趣,他在博弈论方面有极为重要的发现。对各种选择的权衡和对最佳的寻求找到了一个简单模式。但那时赢得的最重要的博弈是他应用自己的逻辑力量战胜了精神分裂而导致的幻觉。

纳什: 微秒的均衡思维

“纳什均衡”引出一个悖论:从利己目的出发,结果会损人不利己。这一理论直接挑战了亚当·斯密“看不见的手”理论——认为每一个人都从利己目的出发,最终全社会达到利他的效果。

什么是分形?通俗一点说,分形就是无限复杂但具有一定意义下的自相似图形。例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上没什么大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上就是自相似关系;我们再拿来一片树叶,仔细观察一下叶脉,它们也具备这种性质,大树就是一种分形。还有像雪花、山川、海岸线等它们都具有自相似性,它们都是分形。

金融市场亦是如此,例如金融市场的股票价格,如果分别以日和年为单位来看股票价格的波动,也可以发现波动的图形是非常的相似。

分形非常的普遍,正如分形几何的创始人曼德尔布罗特曾说过:“分形揭示了世界的本质,分形是真正描述大自然的图形。”

曼德尔布洛特: 分形大道至简的分形思维

1975年冬天的一天,正在思索着现实世界真实几何形象问题的法国数学家曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)随手翻阅他儿子的字典,注意到了拉丁字“fractus”,这个来自动词frangere的形容词含有破裂之意。

他由此创立了“分形”(fractal)这个概念,并由此创立了“分形几何理论”,从而把数学研究扩展到了传统几何学无法涉足的那些“病态曲线”和“几何学怪物”的领域。曼德尔布罗特说:“云朵不是球,山峦不是锥,海岸线不是圆,树皮不光滑,闪电也不走直线。”分形几何学所映射出的自然事物不是光滑无瑕、平坦规整的,而是凸凹不平、粗糙丛杂、扭曲断裂、纠结环绕的几何形体。

曼德尔布罗特关于大自然过程里不规整花样的研究以及他关于无穷复杂形象的探索最终汇流到一个交结点上,这就是自然事物的“自相似”这个特性。“大自然在所有标度上同时起作用”。自然界的许多事物在其内部的各个层次上都具有自相似的结构,在一个花样内部还有更小的同样的花样。自相似物体不具有特征标度,它是跨越尺度的对称性;它在不同测量尺度上看去差不多一样,是一种“无穷嵌套的自相似结构”。“分形”就意味着“自相似”。一个几何图形,如果它的组成部分与图形整体之间有某种相似性,就称为“分形”。“自相似”的思想在人类文化的各个方面都有所反映。

科学上,“蝴蝶效应”是西方数学家在研究非线性系统时发现的---绝大多数非线性系统的演变结果对于初始条件都有着极度敏感性, 初始条件的细微改变可以在短时间内指数放大并造成结果的巨大变化。这也成了后来影响巨大的 “混沌理论”的鼻祖.

起初“蝴蝶效应”只是纯科学界的发现,直到人们认识到我们的现实世界其实是个真正的复杂的非线性系统之后,“混沌理论”和“蝴蝶效应”的社会学及哲学意义才得到各界的广泛重视......

洛仑兹: 蝴蝶翅膀扇起的世界

另一条通往一般模式的途径是由被称作“解密大师”的数学家约翰康威开辟的。

1970年,康威发明了一种被他称作“生命“的游戏,只需要简单的规则就可以构建复杂的模式。

有简单性而导致的复杂性涌现的奇异现象,似乎从另一个方向暗示着自然的内在运行过程。

约翰 康威: 生命游戏

康威生命游戏,又称康威生命棋,是英国数学家约翰·何顿·康威在1970年发明的细胞自动机。 它最初于1970年10月在《科学美国人》杂志上马丁·葛登能的“数学游戏”专栏出现。

在游戏的进行中,杂乱无序的细胞会逐渐演化出各种精致、有形的结构;这些结构往往有很好的对称性,而且每一代都在变化形状。一些形状已经锁定,不会逐代变化。有时,一些已经成形的结构会因为一些无序细胞的“入侵”而被破坏。但是形状和秩序经常能从杂乱中产生出来。对于生成的形状和秩序我们称作 pattern。或者在这里,我们也把它称作 creature。

兰顿: 计算机展现的人工进化

“生命是一种形式性质,而非物质性质,是物质组织的结果,而非物质自身固有的某种东西。无论核苷酸、氨基酸或碳链分子都不是活的,但是,只要以正确的方式把它们聚集起来,由它们的相互作用涌现出来的动力学行为就是被我们称为生命的东西”

宇宙是一架特定配置的细胞自动机,用美国科学家兰顿的话说,就是一架处于混沌边缘的细胞自动机。这样的机器可以产生任意复杂的结构。因此,我们今天的宇宙,不论是星系还是恒星,也不论是生命还是智能,都高度有序,都有复杂的结构。这种世界观就是计算主义世界观。

兰顿(ChristopherLangton)于1987 年在美国拉莫斯国家实验室(Los Alamos National Laboratory)召开的“生成以及模拟生命系统国际会议”上首先提出的,它是借助计算机和其他非生物媒介实现的一个具有生物系统特征的过程或系统,或通过人工模拟生命系统研究生命的领域。通过将机器人大脑植入人工生命系统就可以实现人类的永生。

彭罗斯:宇宙与大脑的联系

作为一个理论学家,彭罗斯的名字可以与霍金、爱因斯坦等巨人相提并论。他为物理学、数学和几何学中做了许多极为重要的贡献。他用他自己的广义相对论语言证明了恒星可以形成黑洞。他发明了扭量理论,一种全新的时空观,使我们对引力本质有了更深层次的理解。他还发现了一类名为彭罗斯点阵的著名的几何形式。

沿着楼梯绕一圈,你能辨识出哪一级最低,哪一级最高吗?

如果顺时针走一圈,你会发现什么?

如果逆时针走一圈,你又会发现什么?

这个神奇的楼梯,似乎总可以往上走,但最后是闭合成环的,不是吗?这个奇妙的视觉景象,就是著名的“彭罗斯楼梯”,是以其发现者莱昂内尔和罗杰·彭罗斯(Lionel and Roger Penrose)的名字命名的。

斯蒂芬·沃尔夫勒姆这个名字,在中文世界里可能远谈不上家喻户晓;但他的英文名Stephen Wolfram恐怕反而却要熟悉得多。大名鼎鼎的数学软件Mathematica每次启动的时候都会用大红字提醒你这是Wolfram出品;而“计算知识引擎” WolframAlpha更是每一个极客必备的网站。

沃尔夫勒姆:元胞自动机---一种通用的自动机

自然就像一台计算机,仅仅运用许多简单但强有力的程序就能衍生出一切复杂的行为。他按照这个思路来研究自然 ,掀起了一场新的科学革命。

想象一下,一望无际的大平面被分成了许许多多方格子。每个格子里正好能放下一个“细胞”。这个细胞不能运动,它可以是死的,也可以是活的;但它的状态,是由它周围8个细胞的死活决定。

至于决定的规则,在这个例子里只有这么几条:

1 “人口过少”:任何活细胞如果活邻居少于2个,则死掉。

2 “正常”:任何活细胞如果活邻居为2个或3个,则继续活。

3 “人口过多”:任何活细胞如果活邻居大于3个,则死掉。

4 “繁殖”:任何死细胞如果活邻居正好是3个,则活过来。

而下面这几张图,全是遵循这几条简单规则的产物。

"脉冲星":它的周期为3,看起来像一颗周期爆发的星星。

“滑翔者”:每4个回合“它”会向右下角走一格。虽然细胞早就是不同的细胞了,但它能保持原本的形态。

“轻量级飞船”:它的周期是4,每2个回合会向右边走一格。

“滑翔者枪”:它会不停地释放出一个又一个滑翔者。

“繁殖者”:它会向右行进,留下一个接一个的“滑翔者枪”。动图最后一帧定格时用三种颜色区分了繁殖者本体、滑翔者枪和它们打出来的滑翔者。

细胞自动机的想法可以追溯到冯·诺依曼,上面这几条规则别名“生命游戏”,可能是最出名的一套规则组。

沃尔夫勒姆对细胞自动机着了迷,而他的同事们对此的评论是“我不太确定他搞的东西能叫科学”,“这更像是数学游戏,他显然已经不再是物理学家了”,还有“这个‘少年天才’其实没有穿衣服”。

可是沃尔夫勒姆却觉得自己发现了某种本质的东西。

1983年,他做出了自己最得意的发现:“Rule 30”。这是一套规则组,处理的是更加简单的一维细胞自动机,每一次迭代的产物变成新的一行打印在下面。可是,从一个活细胞出发,它却生成了一套极其复杂的无尽花纹;

后来Mathematica里使用的随机数生成器,就是基于Rule 30的。(顺便说,用Rule XX指代一维细胞自动机的规则组,这一用法是沃尔夫勒姆首创,沿用至今。)

Rule 30的全部规则,以及从一个黑点开始的迭代结果。每一次新的迭代就是新的一行,而每一个细胞的死活由且仅由它自己和它左右两侧的细胞在上一行的状态决定。之所以是30,因为按顺序排列的二进制数00011110对应的十进制就是30。

250次迭代后的Rule 30。左边缘看起来还有一定规律,但大部分区域看起来近乎是随机的。

织锦芋螺(Conus textile)的花纹神似Rule 30的结果。

如此简单的程序能生成如此复杂的行为,这意味着什么?沃尔夫勒姆认为,这正是我们宇宙的本质;我们的世界就是计算,就是一套简单的规则生成的复杂现象。

如果我们真的建立了宇宙的模型,一切都可计算,那么全部物理问题就都还原成了数学。但什么是数学呢?数学从公理系统出发,比如欧几里得的公理系统;在此基础上我们推导出一系列的形式知识。至于选择什么样的公理,可以是人为武断选择、得到纯粹抽象的数学知识,也可以选择那些和现实世界对应的公理。欧几里得认为他选择的公理是对应现实的,但后来数学家逐渐开始做出武断的抽象的选择。数学是个抽象的领域,它不会被现实的物理限制。

“模仿人类,既是错误的路线,又是唯一可行的路线”

这10个数学家从最简单的自然现象出发,开启的新的认知世界的方法,后面会详细的展开他们的理论和思想。

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